Annotation

Мартин Гарднер — известный американский популяризатор науки, постоянный автор ежемесячного научно-популярного журнала «Сайентифик америкен». Опубликовал несколько книг, многие из которых вышли в русском переводе («Теория относительности для миллионов», «Этот левый, правый мир», «Математические головоломки и развлечения» и другие).

Рассказ «Профессор, у которого не было ни одной стороны» впервые опубликован в 1946 году. В фабулу рассказа вплетено столько научных сведений, что многие американские колледжи включили его в список обязательной литературы по математике.

Опубликовано: Наука и жизнь, 1977, № 5, С. 125–129.

- Мартин Гарднер

- Профессор, у которого не было ни одной стороны

- Подробности для любознательного читателя

- notes

- 1

- 2

Мартин Гарднер

Профессор, у которого не было ни одной стороны

Фантастическая история

Профессор, у которого не было ни одной стороны

Долорес — стройная брюнетка, звезда стриптиза чикагского ночного клуба «Красный колпак» — вышла на середину эстрады, сделала под сладостные аккорды египетских мотивов несколько медленных па своего «танца Клеопатры». Зал был погружен в темноту, только опаловый луч прожектора струился по матовой коже роскошных бедер и играл на тканях египетского костюма Долорес.

Вот-вот должна была упасть вуаль, покрывавшая ее голову и плечи. Плавным жестом она уже направила ее к полу, но вдруг в притихшем зале где-то вверху раздался резкий звук, словно выстрел из пистолета. С потолка вниз головой на эстраду свалилось обнаженное тело крупного мужчины. В падении он зацепил вуаль и припечатал ее с глухим ударом к полу. Воцарился хаос.

Джек Бауэрс, распорядитель, крикнул, чтобы дали свет, и попытался удержать публику на местах. Метрдотель, стоявший у оркестра и наблюдавший за танцем, схватил со стола скатерть, набросил ее на скрюченное тело и перевернул его на спину.

Человек тяжело дышал. Видимо, он потерял сознание от удара. Ему было за пятьдесят — короткие, аккуратно подстриженные рыжие борода и усы, голый череп и фигура профессионального борца.

Три официанта явно с трудом подняли тяжелое тело и отнесли его в кабинет метрдотеля, оставив в зале ошеломленных и возбужденных мужчин и женщин, глядевших то друг на друга, то на потолок и жарко обсуждавших, как и откуда свалился человек. Можно было предположить, что, пока зал был погружен в темноту, кто-то швырнул его на эстраду, но кто? — этого никто не видел. Вызвали полицию.

Между тем в комнате метрдотеля бородач пришел в сознание. Он утверждал, что его зовут Станислав Слапенарский, что он профессор математики Варшавского университета и приглашен для чтения лекций в Чикагском университете.

Прежде чем продолжить эту курьезную историю, я должен признаться, что сам не был свидетелем этих событий и рассказываю со слов распорядителя и официантов. Но я был прямым участником всей знаменательной цепочки событий, завершившейся беспрецедентным явлением профессора в зале.

События эти начались за несколько часов до того. Члены общества Мёбиуса собрались на свой ежегодный симпозиум в одном из уютных кабинетов на втором этаже клуба «Красный колпак». Общество Мёбиуса — это небольшая, малоизвестная группа чикагских математиков, занимающихся топологией — одной из самых молодых и самых любопытных областей современной математики, изучающей законы преобразования геометрических фигур. Чтобы сделать более понятным события этого вечера, следует вкратце изложить специфику предмета топологии.

Суть топологии трудно определить, не прибегая к специальным терминам. Но можно сказать, например, что топологи изучают свойства фигур, не изменяющиеся при любых деформациях.

Представьте себе бублик из мягкой резины, который можно как угодно крутить и растягивать в любом направлении. Сколь бы сильно ни была деформирована (или «трансформирована», как предпочитают выражаться математики) поверхность этого бублика, некоторые особенности его формы останутся неизменными. Так, например, всегда сохранится его дырка. В топологии тело в форме бублика называется «тором». Соломинку для коктейлей также можно рассматривать как вытянутый по центральной оси тор, так что с позиции топологии бублик и соломинка — идентичные фигуры.

Топологию совершенно не интересуют количественные соотношения. Для нее важны только фундаментальные свойства поверхностей, остающиеся неизменными при самых глубоких деформациях поверхности тела, какие только возможны без разрывов и новых склеиваний. Если же тело разрезать на части и склеить эти части другим образом, получится совершенно другое тело и все его первоначальные топологические свойства будут утеряны. Итак, топология изучает самые основные, фундаментальные математические свойства реальных тел.

Для примера рассмотрим одну из проблем топологии. Представьте себе тор (бублик), образованный замкнутой трубкой из тонкой резины. Представьте себе также, что на поверхности тора имеется небольшое отверстие. Можно ли сквозь него вывернуть тор наизнанку, так же, как, например, выворачивается воздушный шарик? Эту задачу не так просто решить в уме.

Хотя многие математики восемнадцатого столетия занимались отдельными проблемами топологии, одну из первых систематизированных работ в этой области выполнил Август Фердинанд Мёбиус, немецкий геометр, профессор Лейпцигского университета первой половины прошлого века. До Мёбиуса все полагали, что любая поверхность, например, лист бумаги, должна иметь две стороны. Но он сделал удивительное открытие — показал, что, если взять полоску бумаги, развернуть ее по продольной оси на пол-оборота и склеить концы, можно получить «одностороннюю» поверхность — поверхность, у которой будет только одна сторона!

Если вы не поленитесь сделать такую полоску (топологи называют ее «листом или лентой Мёбиуса») и внимательно ее изучите, то вскоре убедитесь, что она действительно имеет только одну замкнутую сторону и только один замкнутый край.

Сперва даже трудно представить себе, что подобный лист может существовать, но он существует в явной и осязаемой форме, его совсем нетрудно сделать, и он обладает неоспоримым свойством односторонности, свойством, которое не исчезает, как бы его ни растягивали и как бы его ни скручивали.

Но вернемся к нашей истории. Я горжусь тем, что мне, как преподавателю математики Чикагского университета, защитившему диссертацию по топологии, не составило труда быть принятым в члены общества Мёбиуса. Число его членов было невелико — всего 26 человек, по большей части чикагские топологи и еще несколько представителей университетов соседних городов.

Мы собирались регулярно раз в месяц, и наши заседания носили в основном академический характер, однако раз в год, 17 ноября (день рождения Мёбиуса), мы устраивали симпозиум, на который в качестве почетного гостя и лектора мы приглашали кого-либо из выдающихся топологов.

Симпозиум включал в себя также и менее серьезные аспекты — обычно это было какое-либо специальное развлечение. Но в этом году у нас было мало денег, и мы решили отметить нашу годовщину в клубе «Красный колпак», где обеды были не слишком дороги, а развлечением после лекции могла служить программа варьете. Нам повезло, и мы смогли пригласить в качестве почетного гостя и лектора знаменитого профессора Слапенарского — общепризнанного ведущего тополога мира и одного из величайших математиков века.

Доктор Слапенарский находился в городе уже несколько недель и читал в университете Чикаго серию лекций по топологическим аспектам теории пространства Эйнштейна. В результате наших встреч в университете мы стали добрыми друзьями, и мне поручили пригласить его на обед.

Мы ехали в «Красный колпак» на такси, и по дороге я спросил его, о чем он собирается говорить в своем вступительном слове. Но он только загадочно улыбнулся и сказал мне с сильным польским акцентом, что ждать осталось недолго. Тема его выступления — «поверхность, не имеющая сторон» — вызывала такой интерес среди членов нашего общества, что доктор Роберт Симпсон из Висконсинского университета, принимая приглашение, писал, что это будет первое ученое собрание, которое он посетит за весь прошедший год[1].

Доктор Симпсон — это выдающийся тополог Среднего Запада, автор важных работ по топологии и ядерной физике, в которых он решительно оспаривал ряд важнейших положений Слапенарского.

Польский профессор и я прибыли с небольшим опозданием. После краткой церемонии знакомства мы сели за стол, и я обратил внимание Слапенарского на нашу традицию включать в сервировку предметы с намеком на топологию. Так, например, кольцами для салфеток служили серебряные ленты Мёбиуса. К кофе подавали бублики, а специально сделанные для нас кофейные чашки имели форму бутылки Клейна.

После еды нам подали пиво «Баллантайн», поскольку его этикетка имела любопытный торговый знак, и соленые бисквиты в форме двух «тройных» узлов. Слапенарский был восхищен этими деталями и даже внес несколько предложений о возможности использования за столом и других любопытных для тополога фигур, однако его предложения слишком сложны, чтобы на них можно было бы здесь остановиться.

После моего краткого вступительного слова Слапенарский встал, ответил улыбкой на приветственные аплодисменты и откашлялся. В зале мгновенно воцарилась тишина. Читателю знаком уже облик профессора, его солидные формы, рыжая борода и блестящая лысина. На его лице было написано, что сейчас он откроет нам нечто чрезвычайно важное.

Я бессилен с должной полнотой пересказать блестящее и доступное только специалистам выступление Слапенарского. Но дело сводилось к следующему. Десять лет тому назад, сказал он, его поразила мысль, высказанная Мёбиусом в одном из его малоизвестных трудов, о том, что нет теоретических возражений против того, что поверхность может потерять не только одну, но и обе свои стороны. Другими словами, теоретически возможно существование «нулевых» поверхностей.

Естественно, продолжал профессор, что такую поверхность трудно себе представить, но ведь так же трудно представить себе и существование квадратного корня из минус единицы или гиперкуба в четырехмерном пространстве. Давно признано, что недоступность какой-либо концепции для воображения не дает основания отрицать ее ценность и полезность для современной математики или физики.

Следует помнить, добавил он, что даже односторонняя поверхность непостижима для того, кто не видел в не держал в руках ленту Мёбиуса. А многие, даже обладающие хорошим математическим воображением, неспособны поверить в ее существование, даже держа ее в руках.

Взглянув здесь на доктора Симпсона, я заметил скептическую улыбку в углах его губ.

Вот уже много лет, продолжал Слапенарский, как он занят неустанными поисками поверхностей, не имеющих сторон, и вот, проводя аналогии с известными типами поверхностей, он сумел исследовать многие их свойства. Наконец, — здесь он прервался, чтобы сделать более эффектным свое заявление, обвел блестящими глазами напряженные лица слушателей — и произнес: «Мне удалось создать поверхность, не имеющую сторон».

Его слова словно ударом электрического тока потрясли всех сидевших за столом. Все вздрогнули, изменили позы и удивленно переглянулись. Я видел, как Симпсон резко затряс головой. Когда докладчик прошел в тот угол комнаты, где висела грифельная доска, Симпсон наклонился и прошептал соседу слева: «Чистейшая ерунда. Или этот тип окончательно спятил, или сознательно дурачит нас».

Я думаю, что и другие тоже решили, что все это чистейшая мистификация, ибо, как я заметил, они начали улыбаться, когда профессор стал быстрыми штрихами мела покрывать доску сложными схемами.

После краткого пояснения своих схем (которые оказались выше моего понимания) профессор заявил, что в заключение своего сообщения он построит одну из простейших моделей не имеющей сторон поверхности. Теперь все стали переглядываться, не скрывая улыбок. Симпсон уже не улыбался — он ухмылялся. Слапенарский вынул из кармана пиджака листок бледно-голубой бумаги, небольшие ножницы и тюбик клея. Он вырезал из бумаги фигурку, которая, как мне показалось, удивительно походила на бумажного человечка. У нее было пять отростков, которые вполне можно было принять за голову и четыре конечности. Он нанес на них клей и стал тщательно складывать фигурку. Полоски бумаги накладывались друг на друга самым причудливым образом, пока наконец не остались только два свободных конца. Доктор Слапенарский нанес капельку клея на один из них.

— Джентльмены, — сказал он, показывая нам сложное голубое сооружение и поворачивая его так, чтобы все мы могли его видеть. — Вы присутствуете при первой публичной демонстрации поверхности Слапенарского.

Сказав это, он прижал один из свободных концов к другому. Раздался громкий хлопок, словно лопнула электрическая лампочка, — и бумажная конструкция в его руках исчезла!

На мгновение все замерли от изумления, затем единодушно рассмеялись и принялись аплодировать.

Естественно, все были убеждены, что видели сложный фокус, выполненный просто великолепно. Я, как и другие, полагал, что это был хитроумный химический трюк с бумагой. Видимо, ее обработали так, что при трении или другом воздействии она мгновенно взрывалась, не оставляя пепла.

Но тут я заметил, что профессора смутил наш смех, лицо его стало багроветь. Он растерянно улыбнулся и сел. Аплодисменты понемногу стихли.

Всеми овладело шутливое настроение. Мы столпились вокруг профессора и наперебой тепло поздравляли с удивительным открытием. Затем распорядитель напомнил нам, что внизу для нас накрыт стол и желающие могут пройти в зал, чтобы немного выпить и посмотреть представление.

Комната постепенно опустела, остались только Слапенарский, Симпсон и я. Два знаменитых тополога стояли рядом у доски. Симпсон широко улыбнулся и указал на одну из схем.

— Ошибка в ваших доказательствах столь великолепно скрыта, доктор, — сказал он, — что я не думаю, чтобы кто-либо из присутствующих мог ее заметить.

Польский математик не принял этот комплимент.

— У меня нет ошибки, — раздраженно возразил он.

— О, успокойтесь, доктор, — сказал Симпсон. — Конечно, здесь ошибка. — Все еще улыбаясь, он коснулся угла схемы мизинцем. — Эти линии просто не могут пересекаться в этом узле. Пересечение должно быть где-то здесь. — Он повел рукой вправо.

Лицо Слапенарского снова побагровело.

— Я говорю вам, здесь нет ошибки, — повторил он, повышая голос. Затем, медленно, тщательно и отрывисто выговаривая слова, он снова повторил свои доказательства, подчеркивая каждое слово постукиванием кулака по доске.

Симпсон мрачно слушал, наконец прервал его возражением. Последовал немедленный ответ. Почти тут же Симпсон возразил снова. Снова последовал ответ. Я молча стоял рядом. Спор был недоступен моему пониманию.

Тут оба стали повышать голос. Я уже говорил, что Симпсон давно не соглашался со Слапенарским по ряду аксиом топологии. Теперь именно они стали аргументами в споре.

— Я говорю вам, что эта трансформация не может быть неразрывной, а поэтому эти объекты нельзя считать гомеоморфными[2],— рявкнул Симпсон.

На лбу польского математика вздулись вены.

— Так попробуйте объяснить, почему исчезла моя конструкция, — крикнул он в ответ.

— Это дешевый фокус, — отрезал Симпсон, — мне наплевать, как вы его сделали. Бумажка исчезла не потому, что потеряла материальность!

— Ax так, ну ладно же! — процедил Слапенарский сквозь зубы.

Прежде чем я смог вмешаться, он резко ударил своим громадным кулаком в челюсть доктора Симпсона. Профессор из Висконсина со стоном рухнул на пол. Слапенарский обернулся и зверски посмотрел на меня.

— Пошел вон, мальчишка, — прорычал он. Он был тяжелее меня по меньшей мере фунтов на сто, и я счел за благо отступить назад.

В ужасе я смотрел на происходящее. Слапенарский бросился на колени у распростертого на полу тела и быстрым движением связал его руки и ноги фантастическим узлом. Он складывал тополога из Висконсина так же, как кусок бумаги! Внезапно раздался слабый взрыв, похожий на выхлоп автомобиля, и под руками польского математика осталась только груда одежд доктора Симпсона!

Симпсон приобрел нулевую поверхность!

Слапенарский выпрямился, хрипло дыша, сжимая в своих руках твидовый пиджак, жилет, рубашку и нижнее белье, все вывернутое наизнанку. Он медленно раскрыл руки, и эти предметы туалета свалились грудой на пол. Крупные капли пота катились по его лицу. Он что-то бормотал по-польски и сжатыми кулаками стискивал голову.

Слабым голосом я спросил:

— Он может… его можно вернуть?

— Не знаю, не знаю, — простонал Слапенарский. — Я только еще начал исследование этих поверхностей, я только, только начал. Не могу себе представить, где он находится. Конечно, он в одном из многомерных пространств, но только бог знает в каком!

Тут он резко схватил меня за лацканы пиджака и затряс так, что у меня чуть не выпал зубной мост.

— Я должен идти за ним, — кричал он, — это единственное, что я могу сделать, это все, что в моих силах.

Он лег на пол и быстрыми движениями стал складывать свои руки и ноги.

— Не стойте, как идиот! — прорычал он. — Идите сюда, помогите мне!

Я вправил на место мост и помог ему заложить правую руку под левую ногу и загнул ему голову так, что он смог схватить себя за правое ухо. То же нужно было проделать с левой рукой. «Сверху, а не снизу!» — крикнул он. С большим трудом мне удалось так согнуть ему руку, чтобы он схватил себя за нос.

Снова раздался взрыв, более мощный, чем при исчезновении Симпсона, порыв холодного ветра ударил мне в лицо. Когда я открыл глаза, то увидел на полу еще одну груду скомканной одежды.

Пока я в полной растерянности взирал на эти две кипы одежды, сзади кто-то резко выдохнул воздух. Я обернулся и увидел, что у стены стоит Симпсон, совершенно голый, дрожащий, бледный как мел. Затем ноги его подкосились, и он рухнул на пол. На руках и ногах там, где их недавно с силой прижимали друг к другу, были видны красные пятна.

Я бросился к двери, отпер ее и устремился вниз.

После всего происшедшего мне просто необходимо было выпить. Но в зале царило смятение — минуту назад произошло явление Слапенарского на эстраде.

В кабинете метрдотеля я нашел других членов общества Мёбиуса, а также и нескольких служащих «Красного колпака», занятых шумным и бессвязным спором. Слапенарский сидел в кресле, закутанный в скатерть, и держал у подбородка платок с завернутыми в него кубиками льда.

— Симпсон вернулся, — сказал я, — он в обмороке, но думаю, что с ним все в порядке.

— Слава богу, — прошептал Слапенарский.

Служащие и хозяева «Красного колпака» так и не смогли понять, что произошло в этот ужасный вечер, а наши объяснения только ухудшили дело. Приход полиции внес еще большее смятение.

Наконец мы облачили обоих профессоров, поставили их на ноги и отбыли, скорее бежали, поклявшись вернуться на следующий день с адвокатом. Управляющий явно был уверен, что стал жертвой чудовищного заговора, и угрожал вчинить нам иск о возмещении убытков тому, что он называл «безупречной репутацией» клуба. Однако, как оказалось, слухи о событиях этой ночи сделали клубу прекрасную рекламу, и дело было замято. Газетчики, естественно, прослышали об этой истории, однако не дали ей хода, решив, что все это выдумал в целях рекламы Фанстил — пресс-агент «Красного колпака».

Здоровье Симпсона не пострадало, но Слапенарский сломал себе челюсть. Я доставил его в госпиталь Беллинга около университета, и вечером следующего дня он изложил мне свою версию событий. Симпсон, как он полагал, был отправлен в пространство высшего измерения (вероятно, пятого), когда же он пришел в себя и распутал свои руки и ноги, то снова, как всякий трехмерный тор, обрел внешнюю и внутреннюю поверхности. Но Слапенарскому повезло меньше. Он очутился на каком-то склоне. Ничего не было видно, со всех сторон был сплошной туман, и ему казалось, что он катится вниз, словно с холма.

Он пытался удержать собственный нос в кулаке, но неудачно. Правая рука соскользнула прежде, чем он скатился до дна. Он распрямился и вот снова возник в трехмерном пространстве, нарушив египетский танец Долорес.

Во всяком случае, так рассказал мне об этом сам Слапенарский.

Он пробыл несколько недель в больнице, отказываясь кого-либо видеть вплоть до дня выписки. В этот день я встретил его и проводил на Центральный вокзал. Он сел в поезд до Нью-Йорка, и больше я его никогда не встречал.

Через несколько месяцев он скончался от инфаркта в Варшаве. Сейчас доктор Симпсон ведет переписку с его вдовой, пытаясь заполучить оставшиеся от него заметки о поверхностях, не имеющих сторон.

Смогут ли американские топологи разобраться в этих заметках (если им удастся их получить), покажет будущее. Мы же, сколько ни экспериментировали с бумажными фигурками, ничего не получали, кроме обычных двусторонних или односторонних поверхностей. Хотя именно я помог Слапенарскому сложить себя должным образом, однако пережитое мною потрясение полностью стерло в памяти детали.

Но все же я никогда не забуду, что великий тополог сказал мне в тот вечер, когда я доставил его в больницу.

— Какое счастье, — сказал он, — что и Симпсон и я положили левую руку поверх правой.

— А иначе что случилось бы? — спросил я.

Слапенарского передернуло.

— Нас бы вывернуло наизнанку.

Подробности для любознательного читателя

Примечания автора

Примечание 1. Лист Мёбиуса обладает многими удивительными свойствами. Так, например, если его разрезать по средней линии, то он не распадется на две полосы, как можно было бы ожидать, но превратится в одну длинную полосу. Но если вы будете его резать на расстоянии одной трети от края и проведете такой разрез дважды, то в результате получатся две взаимосвязанные петли — большая и малая. Разрезав малую петлю до средней линии, можно получить еще одну большую петлю, все еще связанную с первой длинной полосой. Эти удивительные свойства листа Мёбиуса использованы в одном старом фокусе с тканью, который профессиональные фокусники называют «афганские ленты».

Примечание 2. Названная в честь Феликса Клейна, выдающегося немецкого математика, бутылка Клейна имеет полностью замкнутую поверхность, однако у нее нет ни внутренней, ни наружной стороны. Она, как лист Мёбиуса, имеет только одну сторону, но в отличие от него не имеет края. Можно получить такое ее сечение, что каждая половина образует поверхность Мёбиуса. В бутылку Клейна можно налить жидкость, и ничего страшного с жидкостью не произойдет.

Примечание 3. Торговый знак на этикетке пива «Баллантайн» — переплетенные кольца — топологически очень интересен. Хотя все три кольца скреплены, но любая их пара не замкнута между собой. Другими словами, если удалить хотя бы одно из колец, то два других будут совершенно свободными. Разъединить одновременно все три кольца нельзя.

Примечание 4. Тройной узел — это простейший узел, который может быть образован замкнутой кривой. Существуют две формы этого узла, представляющие собой зеркальные двойники. Хотя обе его формы топологически идентичны, невозможно преобразовать одну в другую без разрыва. Это их удивительное свойство чрезвычайно смущает топологов. Изучение узлов является важной отраслью топологии, однако свойства даже простейших узлов все еще исследованы недостаточно.

notes

Примечания

1

Доктор Симпсон позднее признался мне, что он прибыл на банкет не для того, чтобы услышать Слапенарского, а чтобы увидеть Долорес (прим. автора).

2

Гомеоморфными называют в топологии фигуры, которые можно превращать одну в другую, не разрывая. Например, круг гомеоморфен квадрату — их можно превратить друг в друга, не разрывая замкнутость этих фигур (прим. перев.).

Table of Contents

Мартин Гарднер Профессор, у которого не было ни одной стороны Фантастическая история

Профессор, у которого не было ни одной стороны

Подробности для любознательного читателя Примечания автора

Примечания

1

2